2025年数学题八年级范本
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更新时间：2025-01-24 17:52:12 发布时间：24小时内
20_年数学题八年级范本一
初中数学中考复习计划推荐度：小学三年级数学应用题推荐度：三年级上册数学应用题推荐度：转述句练习及答案推荐度：复习方案推荐度：相关推荐考试近在咫尺了，考生们是否已经准备好考试了呢？考试前的复习是很重要的哦，下面是小考网为大家准备的考试实用的复习练习题，希望能够帮助大家高效复习，这里先预祝考生们考试顺利。
（1）30是一个数的3/4，这个数是（ ）。
（2）2 吨增加1/2吨是（ ）吨，增加它的1/2是（ ）吨
（3）比300少15%的数是（ ）。
（4）小红做语文作业用1/3小时，做数学作业用1/2小时，做作业一共用了（ ）小时。
（5）植树400棵活了380棵，成活率是（ ）。
（6）六（1）班有21个女同学，20个男同学，女同学占全班人数的（ ）%。
（7）五（4）班有学生54人，其中男生30人，男生比女生多（ ）%，女生比男生少（ ）%。
（1）山区沟子北小学植树，六年级植树占总数的'13%，五年级植树占总数的12%，这两个年级共植树325棵，这个小学共植树多少棵？
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（2）光学精密仪器厂为科研部门生产一批微型零件，第一星期完成总数的10.5%，第二星期完成总数的12.5%，这时才完成69个，这批零件有多少个？
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（3）一根电缆剪去3.6米，还剩下全长的2/5，要想剩下全长的1/4，应剪去多少米？
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（4）某城市一所医院抽调医务人员的10%到居民区巡回医疗，第二批抽调的人数相当于前一批的20%，这时医院还有医务人员132人，这个医院共有医务人员多少人？
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（5）双江食品厂，实际每个星期生产饮料9000瓶，比计划提高20%，实际比计划多生产多生产多少瓶饮料？
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（6）客车厂子弟小学有一位同学在今年区运动会上投垒球的成绩是35.7米，比去年提高5%，今年比去年多投多少米？
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20_年数学题八年级范本二
1、目前小学数学课内外作业的现状：
①长期以来，由于应试教育的影响，作业内容拘泥于课堂知识，拘泥于教材，往往以试卷中出现的形式作为课外作业的模式，完成同步练习，机械、重复的较多。作业陷入机械抄记、单调封闭的误区不能自拔。那些限于室内，拘于书本的静态作业使学生埋头于繁琐重复的书面练习而苦不堪言。作业脱离学生生活实际，围着书本做文章的现状，削弱了学生解决实际问题的能力，泯灭了学生的学习热情，也严重影响了学生的身心健康。
②通过调查发现由于教师在布置练习时只从本身意志出发，而忽略了学生的心理需求，练习、作业形式单调，书面作业似乎是其唯一的形式，毫无新鲜感可言，更谈不上趣味性，致使众多小学生逐渐形成不良的作业习惯。
③我们的教育活动以理论学习为主，以课堂教学为主，评价教学的手段也以考试为主，应试教育倾向严重，学生的动手能力、实践能力较差，缺乏创新的精神和能力。
2、时代的呼唤。
①新课程明确提出：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。重视课程内容与现实生活的联系，增选在现代生活中广泛应用的内容，开发实践应用环节，加强实验和各类实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，提高实际操作能力。”
②数学来源于生活，也应用数学知识去解决生活中的各类数学问题。练习是课堂教学的延伸和继续，是提高课堂教学效率的重要手段和保证，其重要性不言而喻。加强知识与实践的联系在数学练习中变得十分必要。从课改精神出发，改革练习设计已成为摆在我们面前的一个亟待解决的问题。使练习的内容体现个性化、生活化和社会化，作业的形式强调开放、探究和合作，练习的.手段追求多感官、多角度，让学生动起来，使练习活起来，促进学生在生活中学习，在实践中运用，在开放中创新，以便收到较好的效果。
基于对练习重要性的认识和练习现状的分析和反思，我们提出了“小学数学练习设计的有效性研究，旨在通过研究，改变传统的练习观，确立效率意识，从现状出发，从“有效”入手，反思当前哪些练习是有效的，哪些练习是低效甚至是无效的，使学生学得既扎实又轻松，实现真正意义上的“减负提质”。
通过数学练习设计的有效性的研究，着眼于培养学生学习的主动性和自主性，构建和谐、高效的数学课堂，促进教师转变数学活动的视角：培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，提高实际操作能力。以“数学”的本源为追求，以“有效数学活动”为载体，以“学生和谐发展”为核心的目标，探寻一条有效地促进学生爱学数学、动手学数学的活动组织模式。
练习是掌握数学知识，形成技能技巧的重要手段，是培养学生能力、发展学生智力的重要途径。练习有无效练习与有效练习之分。练习设计的有效性是指能使学生快速、深刻地巩固知识，熟练技能，同时还要能发展学生的思维，培养学生的综合能力。本课题中所指的练习包括课堂内的各种练习，如书面练习，口头练习，动手练习等;同时也包括课外的练习。
1.课内练习有效性的实施
数学课堂练习是一堂数学课的重要组成部分，是进一步深入理解知识、掌握技能技巧、培养积极的情感和态度、促进学生深层次发展的有效途径;所以一节数学课，练习是否有效，将是一节课的点睛之笔。因此教师应根据教材内容，围绕教学目标，精心设计练习的内容和形式，既要整体考虑练习方式，又要考虑练习的具体内容，把握好练习的度和量，从而提高学生的学习效率。
2、课外练习有效性的实施
①课前作业。调查表明，大都的数学老师不太习惯给学生布置预习，有的老师会把上课做的教具也会给学生准备好。而我们觉得有些内容学生可以看懂的，完全可以让学生自己去预习，有些教具学生能准备的完全可以让学生自己去准备。②课后作业。在平常的教学中,我们经常发现布置的作业越多，学生错的也越多，因此在课外作业上我们要求少布置或不布置书面作业，而布置一些其它形式的课后作业。
(1)实践性作，实践性作业，不但培养了学生学习数学的兴趣，而且提高了学生分析问题，解决问题的能力。
(2)拓展性作业。这种作业不仅使学生获得了课本上的基本知识，而且使学生主动地把数学知识与现实生活联系起来，让他们真正理解数学在社会生活中的意义和价值。如在教了利息后，让学生向银行职员或家长调查，询问提前支取或延后支取的利息情况。
(3)研究性作业。通过设计一些小课题的研究，培养学生的实践能力和解决问题的能力。
1、针对性原则
针对性原则是指练习要根据不同内容的特点，根据学生的现实状况，紧扣教学目标，突出教学内容的重点，还要注意前后知识的联系，要注意对后继知识的延伸和拓展，使学生通过练习有所提高，从而真正地实现“练在关键”。
2、趣味性原则
兴趣是最好的老师，没有兴趣的地方就没有智慧和灵感。在练习中，结合学生已有知识设计生动活泼、富有情趣的习题，让学生能感受到数学的趣味性，对数学产生亲切感，这样有助于提高数学学习的兴趣、思维能力和创新意识。
3、生活性原则
练习要联系生活实际，让学生亲身感受到数学问题就在我们身边，认识现实中的生活问题与数学问题之间的联系，从而学以致用，培养学生应用数学的意识及运用知识解决实际问题的能力。
4、开放性原则
练习无论是在内容的选取还是形式的呈现，都要为学生提供更多的思考和探索的空间、自主创新的机会，从而培养学生思维的广阔性和灵活性。
5、层次性原则
层次性原则包含两个意思，首先从学生方面来考虑，练习必须因人而异，因材施教，既要关注后进生和中等生，同时又要关注优秀的学生，让差生吃饱，让优生吃好，使不同的学生在数学上得到不同的发展。其次从知识系统上来考虑，练习必须要按照由易到难，由简到繁，由浅入深的规律逐步加大难度。
①建构主义的学习观。
建构主义认为：“学习者以自己的方式建构自己的理解。学生是自己知识的建构者。”维果茨基提出：“人的心理过程的变化与他的实践活动过程的变化是同样的”，杜威更提出“教育基于行动”。因此，以数学活动为主线，有效地开展教学是学生学习的重要途径。
②“数学化”理论。
“数学化”理论认为：人们用数学的方法观察现实世界，分析研究处种具体现象，并加以整理和组织，以发现其规律，这个过程就是“数学化”。“数学化”是学生认识世界、把握世界的方法和过程。学生通过“横向数学化”把生活世界引向符号世界，又通过“纵向数学化”把符号世界一步步地完善。学生的“数学化”的进程贯穿在其所经历的数学活动中，活动是学生“数学化”的根本途径。
③有效教学理论。
有效教学理论认为，教学就其本体功能而言，是有目的地挖掘人的潜能，促使人身心发展的一种有效的实践活动。有效教学理论的核心是教学的效益。(1)“有效教学”关注学生的进步或发展;(2)“有效教学”关注教学效益，要求教师有时间与效益的观念;(3)“有效教学”需要教师具备一种反思的意识，要求每一个教师不断反思自己的日常教学行为;(4)“有效教学”也是一套策略，有效教学需要教师掌握有关的策略性知识，以便于自己面对具体的情景作出决策。小学数学练习设计的有效性研究，就是在这一教学理论的指导下，研究数学活动设计，以提高小学数学课堂教学的效益。
本校四年级学生。
调查法：主要用于量化分析，做好前测后测记录，为制定“测量评估”指标，总结经验，提供事实依据。
个案研究法：选取具有一定代表意义的学生或班级作为个案研究对象，对学生做好跟踪调查，为他们建立研究档案，以此作为研究资料。
经验总结法：对实验中出现的成功经验和失败的经验都要进行及时的总结，
20xx年2月至20xx年7月
第一阶段：准备
时间：20xx年2月至20xx年3月
主要工作：1、拟写工作计划
2、制定实验方案
3、落实分工
4、拟写准备阶段工作情况汇报
第二阶段：实施
时间：20xx年3月至20xx年4月
主要工作：1、召开会议
2、制定整体的研究计划
3、课题展示
4、阶段性报告及论文
第三阶段：总结
时间：20xx年4月至20xx年7月
主要工作：1、课题展示
2、总结性报告及论文
1、阶段性报告
2课题成果结题报告
3、练习设计精编
4、论文
5、教案
6、个案分析
课题组长：xx
组员：xxx xxx xxx
20_年数学题八年级范本三
20_ 年中考数学压轴题 100 题精选 【001】如图，已知抛物线2(1)3 3 y a x （a≠0）经过点(2)a ，0，抛物线的顶点为 d，过 o 作射线 om ad ∥ ．过顶点 d平行于 x 轴的直线交射线 om 于点 c，b 在 x 轴正半轴上，连结 bc ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 p 从点 o 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 om 运动，设点 p 运动的时间为()t s ．问当 t 为何值时，四边形 daop 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若 oc ob ，动点 p 和动点 q 分别从点 o 和点 b 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 oc 和 bo 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为 t()s，连接 pq，当 t 为何值时，四边形 bcpq 的面积最小？并求出最小值及此时 pq 的长． x y m c d p q o a b
【002】如图 16，在 rt△abc 中，∠c=90°，ac = 3，ab = 5．点 p 从点 c 出发沿 ca 以每秒 1 个单位长的速度向点 a 匀速运动，到达点 a 后立刻以原来的速度沿 ac 返回；点 q 从点 a 出发沿 ab 以每秒 1 个单位长的速度向点b 匀速运动．伴随着 p、q 的运动，de 保持垂直平分 pq，且交 pq 于点 d，交折线 qb-bc-cp 于点 e．点 p、q 同时出发，当点 q 到达点 b 时停止运动，点 p 也随之停止．设点 p、q 运动的时间是 t 秒（t＞0）．（1）当 t = 2 时，ap =，点 q 到 ac 的距离是 ；（2）在点 p 从 c 向 a 运动的过程中，求△apq 的面积 s 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 e 从 b 向 c 运动的过程中，四边形 qbed 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值．若不能，请说明理由；（4）当 de 经过点 c 时，请直接．．写出 t 的值． a c b p q e d 图 16
【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 abcd 的三个顶点 b（4，0）、c（8，0）、d（8，8）.抛物线 y=ax 2 +bx 过 a、c 两点.(1)直接写出点 a 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点 p 从点 a 出发．沿线段 ab 向终点 b 运动，同时点 q 从点 c 出发，沿线段 cd 向终点 d 运动．速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 p 作pe⊥ab 交 ac 于点 e，①过点 e 作 ef⊥ad 于点 f，交抛物线于点 g.当 t 为何值时，线段 eg 最长? ②连接 eq．在点 p、q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△ceq 是等腰三角形? 请直接写出相应的 t 值。
【004】如图，已知直线12 8:3 3l y x 与直线2 :2 16 l y x 相交于点c l l1 2，、分别交 x 轴于 a b、两点．矩形 defg 的顶点 d e、分别在直线1 2l l、上，顶点 f g、都在 x 轴上，且点 g 与点 b 重合．（1）求 abc △ 的面积；（2）求矩形 defg 的边 de 与 ef 的长；（3）若矩形 defg 从原点出发，沿 x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间为(0 12)t t ≤ ≤ 秒，矩形 defg 与 abc △ 重叠部分的面积为 s，求 s 关 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围． a d b e o c f x y1l2l（g）（第 4 题）
【005】如图 1，在等腰梯形 abcd 中，ad bc ∥，e 是 ab 的中点，过点 e 作 ef bc ∥ 交 cd 于点 f ． 4 6 ab bc ，60 b ∠.（1）求点 e 到 bc 的距离；（2）点 p 为线段 ef 上的一个动点，过 p 作 pm ef 交 bc 于点 m，过 m 作 mn ab ∥ 交折线 adc 于点 n，连结 pn，设 ep x .①当点 n 在线段 ad 上时（如图 2），pmn △ 的形状是否发生改变？若不变，求出 pmn △ 的周长；若改变，请说明理由； ②当点 n 在线段 dc 上时（如图 3），是否存在点 p，使 pmn △ 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由.a d e b f c 图 4（备用）a d e b f c 图 5（备用）a d e b f c 图 1 图 2 a d e b f c p n m 图 3 a d e b f c p n m（第 25 题）
【006】如图 13，二次函数)0(2 p q px x y 的图象与 x 轴交于 a、b 两点，与 y 轴交于点 c（0，-1），δabc 的面积为45。
（1）求该二次函数的关系式；（2）过 y 轴上的一点 m（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与δabc 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点 d，使四边形 abcd 为直角梯形？若存在，求出点 d 的坐标；若不存在，请说明理由。
【007】如图 1，在平面直角坐标系中，点 o 是坐标原点，四边形 abco 是菱形，点 a 的坐标为（－3，4），点 c 在 x 轴的正半轴上，直线 ac 交 y 轴于点 m，ab 边交 y 轴于点 h．（1）求直线 ac 的解析式；（2）连接 bm，如图 2，动点 p 从点 a 出发，沿折线 abc 方向以 2 个单位／秒的速度向终点 c 匀速运动，设△pmb 的面积为 s（s≠0），点 p 的运动时间为 t 秒，求 s 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠mpb 与∠bco 互为余角，并求此时直线 op 与直线 ac 所夹锐角的正切值．
【008】如图所示，在直角梯形 abcd 中，∠abc=90°，ad∥bc，ab=bc，e 是 ab 的中点，ce⊥bd。
（1）求证：be=ad；（2）求证：ac 是线段 ed 的垂直平分线；（3）△dbc 是等腰三角形吗？并说明理由。
【009】一次函数 y ax b 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 , m n，与反比例函数kyx 的图象相交于点 , a b ．过点 a 分别作 ac x 轴，ae y 轴，垂足分别为 , c e ；过点 b 分别作 bf x 轴，bd y 轴，垂足分别为 f d，ac 与 bd 交于点 k，连接 cd ．（1）若点 a b，在反比例函数kyx 的图象的同一分支上，如图 1，试证明：
①aedk cfbks s 四边形 四边形； ② an bm ．（2）若点 a b，分别在反比例函数kyx 的图象的不同分支上，如图 2，则 an 与 bm 还相等吗？试证明你的结论． o c f m d e n k y x 1 1()a x y，2 2()b x y，（第 25 题图 1）o c d k f e n y x 1 1()a x y，3 3()b x y，m（第 25 题图 2）
【010】如图，抛物线23 y ax bx 与 x 轴交于 a b，两点，与 y 轴交于 c 点，且经过点(2 3)a ，对称轴是直线 1 x ，顶点是 m ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过 c,m 两点作直线与 x 轴交于点 n，在抛物线上是否存在这样的点 p，使以点 p a c n，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线 3 y x 与 y 轴的交点是 d，在线段 bd 上任取一点 e（不与 b d，重合），经过 a b e，三点的圆交直线 bc 于点 f，试判断aef △ 的形状，并说明理由；（4）当 e 是直线 3 y x 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． o b x y a m c 1 3 （第 10 题图）
【011】已知正方形 abcd 中，e 为对角线 bd 上一点，过 e 点作 ef⊥bd 交bc 于 f，连接 df，g 为 df 中点，连接 eg，cg．（1）求证：eg=cg；（2）将图①中△bef 绕 b 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 df 中点 g，连接 eg，cg．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△bef 绕 b 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）f b a d c e g 第 24 题图① d f b a d c e g 第 24 题图② f b a c e 第 24 题图③
【012】如图，在平面直角坐标系 xoy 中，半径为 1 的圆的圆心 o 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于 a b c d、、、四点．抛物线2y ax bx c 与 y 轴交于点 d，与直线 y x 交于点 m n、，且 ma nc、分别与圆 o相切于点 a 和点 c ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 e，连结 de，并延长 de 交圆 o 于 f，求 ef 的长．（3）过点 b 作圆 o 的切线交 dc 的延长线于点 p，判断点 p 是否在抛物线上，说明理由． o x y n c d e f b m a
【013】如图，抛物线经过(4 0)(10)(0 2)a b c ，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）p 是抛物线上一动点，过 p 作 pm x 轴，垂足为 m，是否存在p 点，使得以 a，p，m 为顶点的三角形与 oac △ 相似？若存在，请求出符合条件的点 p 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 ac 上方的抛物线上有一点 d，使得 dca △ 的面积最大，求出点 d 的坐标． o x y a b c 4 1 2 （第 26 题图）
【014】在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形 oabc 的两顶点 a、c 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点 o 在原点.现将正方形 oabc 绕 o 点顺时针旋转，当 a 点第一次落在直线 y x 上时停止旋转，旋转过程中，ab 边交直线 y x 于点 m，bc 边交 x 轴于点 n（如图）.（1）求边 oa 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当 mn 和 ac平行时，求正方形 oabc 旋转的度数；（3）设 mbn 的周长为 p，在旋转正方形 oabc 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.(第 26 题)o a b c m n y x x y
【015】如图，二次函数的图象经过点 d(0，397)，且顶点 c 的横坐标为4，该图象在 x 轴上截得的线段 ab 的长为 6.⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 p，使 pa+pd 最小，求出点 p 的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点 q，使△qab 与△abc 相似？如果存在，求出点 q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【016】如图 9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)a，．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线 oa 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)b m，求 m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于 c、d，求过 a、b、d 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点 e，使四边形oecd 的面积1s 与四边形 oabd 的面积 s 满足：123s s ？若存在，求点 e的坐标； 若不存在，请说明理由． y x o c d b a 3 3 6
【017】如图，已知抛物线2y x bx c 经过(10)a，(0 2)b，两点，顶点为 d ．（1）求抛物线的解析式；（2）将 oab △ 绕点 a 顺时针旋转 90°后，点 b 落到点 c 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点 c，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为1b，顶点为1d，若点 n 在平移后的抛物线上，且满足1nbb △ 的面积是1ndd △ 面积的2倍，求点 n 的坐标． y x b a o d（第 26 题）
【018】如图，抛物线24 y ax bx a 经过(10)a ，、(0 4)c，两点，与 x轴交于另一点 b ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)d m m，在第一象限的抛物线上，求点 d 关于直线 bc 对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接 bd，点 p 为抛物线上一点，且 45 dbp °，求点 p 的坐标． y x o a b c
【019】如图所示，将矩形 oabc 沿 ae 折叠，使点 o 恰好落在 bc 上 f 处，以 cf 为边作正方形 cfgh，延长 bc 至 m，使 cm＝｜cf—eo｜，再以cm、co 为边作矩形 cmno(1)试比较 eo、ec 的大小，并说明理由(2)令； 四边形四边形cnmncfghssm ，请问 m 是否为定值？若是，请求出 m 的值；若不是，请说明理由(3)在(2)的条件下，若 co＝1，ce＝31，q 为 ae 上一点且 qf＝32，抛物线y＝mx 2 +bx+c 经过 c、q 两点，请求出此抛物线的解析式.(4)在(3)的条件下，若抛物线 y＝mx 2 +bx+c 与线段 ab 交于点 p，试问在直线 bc 上是否存在点 k，使得以 p、b、k 为顶点的三角形与△aef 相似?若存在，请求直线 kp 与 y 轴的交点 t 的坐标?若不存在，请说明理由。
【020】如图甲，在△abc 中，∠acb 为锐角，点 d 为射线 bc 上一动点，连结 ad，以 ad 为一边且在 ad 的右侧作正方形 adef。
解答下列问题：
（1）如果 ab=ac，∠bac=90°，①当点 d 在线段 bc 上时（与点 b 不重合），如图乙，线段 cf、bd 之间的位置关系为，数量关系为。
②当点 d 在线段 bc 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果 ab≠ac，∠bac≠90°点 d 在线段 bc 上运动。
试探究：当△abc 满足一个什么条件时，cf⊥bc（点 c、f 重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）（3）若 ac=4 2，bc=3，在（2）的条件下，设正方形 adef 的边 de与线段 cf 相交于点 p，求线段 cp 长的最大值。
20_ 年中考数学压轴题 100 题精选答案 【001】解：（1）抛物线2(1)3 3(0)y a x a 经过点(2 0)a ，30 9 3 33a a ······································································································· 1 分 二次函数的解析式为：23 2 3 8 33 3 3y x x ························································· 3 分（2）d 为抛物线的顶点(13 3)d ，过 d 作 dn ob 于 n，则3 3 dn ，2 23 3(3 3)6 60 an ad dao ，° ··························································· 4 分 om ad ∥ ① 当 ad op 时，四边形 daop 是平行四边形 6 6(s)op t ······················································· 5 分 ② 当 dp om 时，四边形 daop 是直角梯形 过 o 作 oh ad 于 h，2 ao ，则 1 ah （如果没求出 60 dao ° 可由 rt rt oha dna △ ∽ △ 求 1 ah ）5 5(s)op dh t ·········································································································· 6 分 ③ 当 pd oa 时，四边形 daop 是等腰梯形 2 6 2 4 4(s)op ad ah t 综上所述：当 6 t 、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． ···································································································································· 7 分（3）由（2）及已知，60 cob oc ob ocb °，△ 是等边三角形 则 6 2 6 2(0 3)ob oc ad op t bq t oq t t ，，x y m c d p q o a b n e h
过 p 作 pe oq 于 e，则32pe t ··················································································· 8 分 1 1 36 3 3(6 2)2 2 2bcpqs t t =23 3 6332 2 8t ····································· 9 分 当32t 时，bcpqs 的面积最小值为6338 ············································································ 10 分 此时3 3 3 9 3 33 32 4 4 4 4oq op oe qe pe ，=，222 23 3 9 3 34 4 2pq pe qe ······························································ 11 分 【002】解：（1）1，85；（2）作qf⊥ac 于点f，如图 3，aq = cp= t，∴ 3 ap t ． 由△aqf∽△abc，2 25 3 4 bc ，得4 5qf t ．∴45qf t ． ∴1 4(3)2 5s t t ，即22 65 5s t t ．（3）能． ①当 de∥qb 时，如图 4． ∵de⊥pq，∴pq⊥qb，四边形 qbed 是直角梯形． 此时∠aqp=90°． 由△apq ∽△abc，得aq apac ab，即33 5t t ． 解得98t ． ②如图 5，当 pq∥bc 时，de⊥bc，四边形 qbed 是直角梯形． 此时∠apq =90°． 由△aqp ∽△abc，得 aq apab ac，即35 3t t ． 解得158t ． a c b p q e d 图 4 a c b p q d 图 3 e f a c b p q e d 图 5 a c(e)b p q d 图 6 g b q g
（4）52t 或4514t ． 【注：①点 p 由 c 向 a 运动，de 经过点 c． 方法一、连接 qc，作 qg⊥bc 于点g，如图 6． pc t ，2 2 2qc qg cg 2 23 4[(5)] [4(5)]5 5t t ． 由2 2pc qc ，得2 2 23 4[(5)] [4(5)]5 5t t t ，解得52t ． 方法二、由 cqcp aq ，得qac qca ，进而可得 b bcq ，得 cqbq ，∴52aq bq ．∴52t ． ②点 p 由 a 向 c 运动，de 经过点 c，如图 7． 2 2 23 4(6)[(5)] [4(5)]5 5t t t ，4514t 】 【003】解.(1)点 a 的坐标为（4，8）…………………1 分 将 a(4,8)、c（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 得 a=-12,b=4 解 ∴抛物线的解析式为：y=－12x2+4x …………………3 分（2）①在 rt△ ape 和 rt△ abc 中，tan∠pae=peap=bcab,即peap=48 ∴pe=12ap=12t．pb=8-t． ∴点ｅ的坐标为（4+12t，8-t）.∴点 g 的纵坐标为：－12（4+12t）2+4(4+12t）=－18t2+8.…………………5分 ∴eg=－18t2+8-(8-t)=－18t2+t.∵-18＜0，∴当 t=4 时，线段 eg 最长为 2.…………………7 分 ②共有三个时刻.…………………8 分 t1=163，t2=4013，t3= 8 52 5 ． …………………11 分 【004】（1）解：由2 803 3x ，得4 x a ．点坐标为 40 ，． 由2 16 0 x ，得8 x b ．点坐标为 80，．∴ 8 4 12 ab ．（2分）由2 83 32 16y xy x ，．解得56xy ，．∴ c 点的坐标为 56，．（3 分）∴1 112 6 362 2abc cs ab y △· ．（4 分）（2）解：∵点 d 在1l上且2 88 8 83 3d b dx x y ，． ∴ d 点坐标为 88，．（5 分）又 ∵ 点e在2l上 且8 2 1 6 8 4e d e ey y x x ，． ．∴ e 点坐标为 48，．（6 分）∴8 4 4 8 oe ef ，．（7 分）
（3）解法一：
① 当 03 t ≤时，如图 1，矩形 defg 与abc △重叠部分为五边形 chfgr（0 t 时，为四边形 chfg）．过 c 作 cmab 于m，则 rtrt rgb cmb △ ∽ △ ． ∴bg rgbm cm，即 36t rg，∴2 rg t ． rt rt afh amc △ ∽ △，∴ 1 1 236 2 8 82 2 3abc brg afhs s s s t t t t △ △ △． 即24 16 443 3 3s t t ．（10 分）【005】（1）如图 1，过点 e 作 egbc 于点 g． 1 分 ∵ e 为 ab 的中点，∴122be ab ． 在 rtebg △中，60 b ∠，∴30 beg ∠ ． 2 分 ∴2 211 2 1 32bg be eg ，． 即点 e 到 bc 的距离为3． 3 分 a d b e o r f x y1l2l m（图 3）g c a d b e o c f x y1l2l g（图 1）r m a d b e o c f x y1l2l g（图 2）r m 图 1 a d e b f c g
（2）①当点 n 在线段 ad 上运动时，pmn △的形状不发生改变． ∵ pmef eg ef ，∴ pmeg ∥ ． ∵ efbc ∥，∴ epgm ，3 pm eg ． 同理4 mn ab ． 4 分 如图 2，过点 p 作 phmn 于 h，∵ mnab ∥，∴60 30 nmc b pmh ∠ ∠，∠ ． ∴1 32 2ph pm ． ∴3cos302mh pm ． 则3 542 2nh mn mh ． 在 rtpnh △中，222 25 372 2pn nh ph ． ∴pmn △的周长=3 7 4 pm pn mn ． 6 分 ②当点 n 在线段 dc 上运动时，pmn △的形状发生改变，但mnc △恒为等边三角形． 当 pmpn 时，如图 3，作 prmn 于 r，则 mrnr ． 类似①，32mr ． ∴2 3 mn mr ． 7 分 图 2 a d e b f c p n m g h
∵mnc △是等边三角形，∴3 mc mn ． 此时，6 1 3 2 x ep gm bc bg mc ． 8 分 当 mpmn 时，如图 4，这时3 mc mn mp ． 此时，6 1 3 5 3 x ep gm ． 当 npnm 时，如图 5，30 npm pmn ∠ ∠ ． 则120 pmn ∠，又60 mnc ∠，∴180 pnm mnc ∠ ∠ ． 因此点 p 与 f 重合，pmc △为直角三角形． ∴tan30 1 mc pm ． 此时，6 1 1 4 x ep gm ． 综上所述，当2 x 或 4 或 5 3 时，pmn △为等腰三角形． 【006】解：（1）oc=1,所以,q=-1,又由面积知 0.5oc×ab= 45,得 ab=52，设 a（a,0）,b(b,0)ab=ba=2()4 a b ab =52，解得 p=32,但 p0,所以 p=32。
所以解析式为：2312y x x （2）令 y=0，解 方 程 得231 02x x ，得1 21, 22x x , 所 以图 3 a d e b f c p n m 图 4 a d e b f c p m n 图 5 a d e b f（p）c m n g g r g
a(12,0),b(2,0),在直角三角形 aoc 中可求得 ac=52,同样可求得 bc=5，显然 ac2+bc2=ab2，得△abc 是直角三角形。ab 为斜边，所以外接圆的直径为 ab=52,所以5 54 4m 。
（3）存在，ac⊥bc，①若以 ac 为底边，则 bd//ac,易求 ac 的解析式为y=-2x-1,可设 bd 的解析式为 y=-2x+b，把 b(2,0)代入得 bd 解析式为 y=-2x+4，解方程组23122 4y x xy x 得 d（52，9）②若以 bc 为底边，则 bc//ad,易求 bc 的解析式为 y=0.5x-1,可设 ad 的解析式为 y=0.5x+b，把 a(12，0)代入得 ad 解析式为 y=0.5x+0.25，解方程组23120.5 0.25y x xy x 得 d(5 3,2 2)综上，所以存在两点：（52,9）或(5 3,2 2)。
【007】
【008】证明：（1）∵∠abc=90°，bd⊥ec，∴∠1 与∠3 互余，∠2 与∠3 互余，∴∠1=∠2…………………………………………………1 分 ∵∠abc=∠dab=90°，ab=ac ∴△bad≌△cbe…………………………………………2 分 ∴ad=be……………………………………………………3 分（2）∵e 是 ab 中点，∴eb=ea 由（1）ad=be 得：ae=ad……………………………5 分 ∵ad∥bc∴∠7=∠acb=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7 由等腰三角形的性质，得：em=md，am⊥de。
即，ac 是线段 ed 的垂直平分线。……………………7 分（3）△dbc 是等腰三角（cd=bd）……………………8 分 理由如下：
由（2）得：cd=ce 由（1）得：ce=bd∴cd=bd ∴△dbc 是等腰三角形。……………………………10 分 【009】解：（1）①ac x ⊥轴，ae y ⊥轴， 四边形 aeoc 为矩形． bf x ⊥轴，bd y ⊥轴， 四边形 bdof 为矩形． ac x ⊥轴，bd y ⊥轴， 四边形 aedkdock cfbk，均为矩形． 1 分 1 1 1 1oc x ac y x y k ，，1 1 aeocs oc ac x y k 矩形 2 2 2 2of x fb y x y k ，，2 2 bdofs of fb x y k 矩形． o c f m d e n k y x ab图 1
aeoc bdofs s 矩形 矩形． aedk aeoc docks s s 矩形 矩形 矩形，cfbk bdof docks s s 矩形 矩形 矩形，aedk cfbks s 矩形 矩形． 2 分 ②由（1）知aedk cfbks s 矩形 矩形． ak dkbk ck ． ak bkck dk． 4 分 90 akb ckd °，akb ckd △ ∽△． 5 分 cdk abk ． abcd ∥． 6 分 ac y ∥轴， 四边形 acdn 是平行四边形． ancd ． 7 分 同理 bmcd ． an bm ． 8 分（2）an 与 bm 仍然相等． 9 分 aedk aeoc odkcs s s 矩形 矩形 矩形，bkcf bdof odkcs s s 矩形 矩形 矩形，又aeoc bdofs s k 矩形 矩形，aedk bkcfs s 矩形 矩形． 10 分 ak dkbk ck ． ck dkak bk． k k ，cdk abk △ ∽△． cdk abk ． abcd ∥． 11 分 ac y ∥轴， 四边形 andc 是平行四边形． ancd ． 同理 bmcd ． anbm ． 12 分 【010】解：（1）根据题意，得3 4 2 31.2a a bba ，2 分 o c d k f e n y x abm 图 2 y x e d n o a c p n 1 f
， 抛物线对应的函数表达式为22 3 y x x ． 3 分（2）存在． 在22 3 y x x 中，令0 x ，得3 y ． 令0 y ，得22 3 0 x x ，1 21 3 x x ，．(10)a ，(30)b，(0 3)c ，． 又2(1)4 y x ， 顶点(1 4)m ，． 5 分 容易求得直线 cm 的表达式是3 y x ． 在3 y x 中，令0 y ，得3 x ．(30)n ，2 an ． 6 分 在22 3 y x x 中，令3 y ，得1 20 2 x x ，． 2 cp an cp ，． an cp ∥， 四边形 ancp 为平行四边形，此时(2 3)p ，． 8 分（3）aef △是等腰直角三角形． 理由：在3 y x 中，令0 x ，得3 y ，令0 y ，得3 x ． 直线3 y x 与坐标轴的交点是(0 3)d，(30)b，． od ob ，45 obd ° ． 9 分 又 点(0 3)c ，ob oc ．45 obc ° ． 10 分 由图知45 aef abf °，45 afe abe ° ． 11 分
90 eaf °，且 ae af ．aef △是等腰直角三角形． 12分（4）当点 e 是直线3 y x 上任意一点时，（3）中的结论成立． 14分 【011】解：（1）证明：在 rt△fcd 中，∵g 为 df 的中点，∴ cg= fd．………1 分 同理，在 rt△def 中，eg= fd．…………2 分∴ cg=eg．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即 eg=cg．…………………………4 分 证法一：连接 ag，过 g 点作 mn⊥ad 于 m，与 ef 的延长线交于 n 点． 在△dag 与△dcg 中，∵ ad=cd，∠adg=∠cdg，dg=dg，∴ △dag≌△dcg．∴ ag=cg．………………………5 分 在△dmg 与△fng 中，∵ ∠dgm=∠fgn，fg=dg，∠mdg=∠nfg，∴ △dmg≌△fng．∴ mg=ng 在矩形 aenm 中，am=en． ……………6 分 在 rt△amg 与 rt△eng 中，∵ am=en，mg=ng，∴ △amg≌△eng．∴ ag=eg．∴ eg=cg． ……………………………8分 证法二：延长 cg 至 m,使 mg=cg，连接 mf，me，ec，……………………4 分 在△dcg 与△fmg 中，∵fg=dg，∠mgf=∠cgd，mg=cg，∴△dcg ≌△fmg．∴mf=cd，∠fmg＝∠dcg． ∴mf∥cd∥ab．………………………5 分∴ 在 rt△mfe 与 rt△cbe 中，∵ mf=cb，ef=be，∴△mfe ≌△cbe．∴∠mec＝∠mef＋∠fec＝∠ceb＋∠cef＝90°．∴ △mec 为直角三角形．∵ mg = cg，∴ eg= mc．………8 分（3）（1）中的结论仍然成立，即 eg=cg．其他的结论还有:eg⊥cg．……10 分 【012】解：（1）圆心 o 在坐标原点，圆 o 的半径为 1， 点 ab c d、、、的坐标分别为(10)(0 1)(10)(01)a b c d ，、，、，、，抛物线与直线y x 交于点 mn、，且 manc、分别与圆 o 相切于点
a 和点 c，(1 1)(11)m n ，、，． 点d m n、、在 抛 物 线 上，将(01)(1 1)(11)d m n ，、，、，的 坐 标 代 入2y ax bx c ，得 ：111ca b ca b c 解之，得：111abc 抛物线的解析式为：21 y x x ． 4 分（2）221 512 4y x x x 抛物线的对称轴为12x ，1 1 512 4 2oe de ，． 6 分 连结90 bf bfd ，°，bfd eod △ ∽△，de oddb fd ，又51 22de od db ，，4 55fd ，4 5 5 3 55 2 10ef fd de ． 8 分（3）点 p 在抛物线上． 9 分 o x y n c d e f b m a p
设过 dc、点的直线为：y kx b ，将点(10)(01)c d，、，的坐标代入 y kx b ，得：1 1 k b ， 直线 dc 为：1 y x ． 10 分 过点 b 作圆 o 的切线 bp 与 x 轴平行，p 点的纵坐标为1 y ，将1 y 代入1 y x ，得：2 x ． p 点的坐标为(21)，当2 x 时，2 21 2 2 1 1 y x x ，所以，p 点在抛物线21 y x x 上． 12 分 【013】解：（1）该抛物线过点(0 2)c ， 可设该抛物线的解析式为22 y ax bx ． 将(4 0)a，(1 0)b，代入，得16 4 2 02 0a ba b. ，解得1252ab. ， 此抛物线的解析式为21 522 2y x x ．（3 分）（2）存在．（4 分）如图，设 p 点的横坐标为 m，则 p 点的纵坐标为21 522 2m m ，当 14 m 时，o x y a b c 4 1 2 （第 26 题图）d p m e
4 am m ，21 522 2pm m m ． 又90 coa pma °， ①当21am aopm oc 时，apm aco △ ∽△，即21 54 2 22 2m m m ． 解得1 22 4 m m ，（舍去），(21)p ，．（6 分）② 当12a m o cp m o a 时，a p m c a o △ ∽△，即21 52(4)22 2m m m ． 解得14 m ，25 m （均不合题意，舍去） 当 14 m 时，(2 1)p，．（7 分）类似地可求出当4 m 时，(5 2)p ，．（8 分）当1 m 时，(3 14)p ，． 综上所述，符合条件的点 p 为(2 1)，或(52)，或(3 14) ，．（9 分）（3）如图，设 d 点的横坐标为(0 4)t t ，则 d 点的纵坐标为21 522 2t t ．
过 d 作y轴的平行线交ac于 e ．由题意可求得直线ac的解析式为122y x ．（10 分）e 点 的 坐 标 为122t t ，．2 21 5 1 12 2 22 2 2 2de t t t t t ．（11分）2 2 21 12 4 4(2)42 2dacs t t t t t △． 当2 t 时，dac △面积最大．(2 1)d ，．（13 分）【014】（1）解：∵ a 点第一次落在直线y x 上时停止旋转，∴ oa 旋转了045.∴ oa 在旋转过程中所扫过的面积为245 2360 2 .……………4 分（2）解 ：
∵mn∥ac，∴45 bmn bac , 45 bnm bca .∴bmn bnm .∴ bmbn .又∵ babc ，∴ amcn .又 ∵o a o c ,oam ocn , ∴oam ocn .∴aom con .∴1(90 452aom .∴旋转过程中，当mn和ac平行 时，正 方 形oabc旋 转 的 度 数 为
45 .……………………………………………8 分（3）答 ：p值 无 变 化.证 明 ：
延 长ba交y轴 于e点，则045 aoe aom ，0 0 090 45 45 con aom aom ，∴aoe con .又∵ oaoc ，0 0 0180 90 90 oae ocn .∴oae ocn .∴, oe on ae cn .又∵045 moe mon , omom , ∴ome omn .∴ mnme am ae .∴ mnam cn ，∴4 p mn bn bm am cn bn bm ab bc .∴在旋转正方形 oabc 的过程中，p值无变化.……………12 分 【015】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k∵顶点 c 的横坐标为 4，且过点(0，397)∴y=a(x-4)2+k k a 16 397 ………………① 又∵对称轴为直线 x=4，图象在 x 轴上截得的线段长为 6 ∴a(1，0)，b(7，0)∴0=9a+k ………………②由①②解得 a=93，k=3 －∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3（第 26o a b c m n y x x y e
⑵∵点 a、b 关于直线 x=4 对称 ∴pa=pb ∴pa+pd=pb+pd≥db ∴当点 p在线段 db 上时 pa+pd 取得最小值 ∴db 与对称轴的交点即为所求点 p 设直线 x=4 与 x 轴交于点 m ∵pm∥od，∴∠bpm=∠bdo，又∠pbm=∠dbo ∴△bpm∽△bdo∴bobmdopm ∴3373 397 pm∴点 p 的坐标为(4，33)⑶由⑴知点 c(4，3 )，又∵am=3，∴在 rt△amc 中，cot∠acm=33，∴∠acm=60o，∵ac=bc，∴∠acb=120o ①当点 q 在 x 轴上方时，过 q 作 qn⊥x 轴于 n 如果 ab=bq，由△abc∽△abq 有 bq=6，∠abq=120o，则∠qbn=60o ∴qn=33，bn=3，on=10，此时点q(10，3 3)，如果 ab=aq，由对称性知 q(-2，3 3)②当点 q 在 x 轴下方时，△qab 就是△acb，此时点 q 的坐标是(4，3 )，经检验，点(10，3 3)与(-2，3 3)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点 q，使△qab∽△abc 点 q 的坐标为(10，3 3)或(-2，3 3)或(4，3 )．
【016】解：（1）设正比例函数的解析式为1 1(0)y k x k ，因为1y k x 的图象过点(33)a，所以13 3k ，解得11 k ． 这个正比例函数的解析式为y x ．（1 分）设反比例函数的解析式为22(0)ky kx ．因为2kyx的图象过点(3 3)a，所以 233k，解得29 k ．这个反比例函数的解析式为9yx．（2 分）（2）因为点(6)b m，在9yx的图象上，所以9 36 2m ，则点362b ，．（3 分）设一次函数解析式为3 3(0)y k x b k ．因为3y k x b 的图象是由y x 平移得到的，所以31 k ，即y x b ．又因为y x b 的图象过点362b ，所以 362b ，解得92b ， 一次函数的解析式为92y x ．（4 分）（3）因为92y x 的图象交y轴于点 d，所以 d 的坐标为902 ，． 设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a ． 因为2y ax bx c 的图象过点(33)a，、362b ，、和 d902 ，所以9 3 3336 629.2a b ca b cc ，（5 分）解得1249.2abc ，这个二次函数的解析式为21 942 2y x x ．（6 分）（4）92y x 交 x 轴于点 c， 点 c 的坐标是902 ，如图所示，15 1 1 3 16 6 6 3 3 32 2 2 2 2s 9 945 184 2 814． 假设存在点0 0()e x y，使12 81 2 273 4 3 2s s ． 四边形 cdoe 的顶点 e 只能在 x 轴上方，00 y ，1 ocd oces s s △ △ 01 9 9 1 92 2 2 2 2y 081 98 4y ． 081 9 278 4 2y ，032y ．0 0()e x y，在二次函数的图象上，20 01 9 342 2 2x x ．解得02 x 或06 x ． y x o c d b a 3 3 6 e
当06 x 时，点362e ，与点 b 重合，这时 cdoe 不是四边形，故06 x 舍去， 点 e 的坐标为322 ，．（8 分）【017】解：（1）已知抛物线2y x bx c 经过(10)(0 2)a b，，0 12 0 0b cc 解得32bc 所求抛物线的解析式为23 2 y x x ． 2 分（2）(10)a，(0 2)b，1 2 oa ob ，可得旋转后 c 点的坐标为(31)，3 分 当3 x 时，由23 2 y x x 得2 y ，可知抛物线23 2 y x x 过点(3 2)， 将原抛物线沿y轴向下平移 1 个单位后过点 c ． 平移后的抛物线解析式为：23 1 y x x ． 5 分（3）点 n 在23 1 y x x 上，可设 n 点坐标为20 0 0(3 1)x x x ，将23 1 y x x 配方得23 52 4y x ， 其对称轴为32x ． 6 分 ①当0302x 时，如图①，1 12nbb ndds s △ △ y x c b a o n d b1 d1 图①
0 01 1 31 2 12 2 2x x 01 x 此时20 03 1 1 x x n 点的坐标为(11)，． 8 分 ②当032x 时，如图② 同理可得0 01 1 31 22 2 2x x 03 x 此时20 03 1 1 x x 点 n 的坐标为(31)，． 综上，点 n 的坐标为(11)，或(31)，． 10 分 【018】解：（1）抛物线24 y ax bx a 经过(10)a ，(0 4)c，两点，4 04 4.a b aa ， ， 抛物线的解析式为23 4 y x x ．（2）点(1)d m m，在抛物线上，21 3 4 m m m ，即22 3 0 m m ，1 m 或3 m ． 点 d 在第一象限， 点 d 的坐标为(3 4)，． y x c b a o d b1 d1 图② n y x o a b c d e
由（1）知45 oa ob cba ，° ． 设点 d 关于直线 bc 的对称点为点 e ．(0 4)c，cd ab ∥，且3 cd ，45 ecb dcb °，e 点在y轴上，且3 ce cd ． 1 oe ，(01)e ，． 即点 d 关于直线 bc 对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作 pfab ⊥于 f，debc ⊥于 e ． 由（1）有：4 45 ob oc obc ，°，45 dbp cbd pba °，．(0 4)(34)c d，，cd ob ∥且3 cd ． 45 dce cbo °，3 22de ce ． 4 ob oc ，4 2 bc ，5 22be bc ce ，3tan tan5depbf cbdbe ． 设3 pf t ，则5 bf t ，5 4 of t ，(5 43)p t t ，． y x o a b c d e p f
p 点在抛物线上，23(5 4)3(5 4)4 t t t ，0 t （舍去）或2225t ，2 665 25p ，． 方法二：过点 d 作 bd 的垂线交直线 pb 于点 q，过点 d 作 dhx ⊥轴于 h ．过 q 点作 qgdh ⊥于 g ． 45 pbd qd db °，． qdg bdh 90 °，又90 dqg qdg °，dqg bdh ． qdg dbh △ ≌△，4 qg dh ，1 dg bh ． 由（2）知(3 4)d，(13)q ，．(4 0)b， 直线 bp 的解析式为3 125 5y x ． 解方程组23 43 125 5y x xy x ，得1140xy ，；222566.25xy ， 点 p 的坐标为2 665 25 ，． 【019】（1）eo＞ec，理由如下：
由折叠知，eo=ef，在 rt△efc 中，ef 为斜边，∴ef＞ec，故 eo＞ec …2分（2）m 为定值 ∵s 四边形 cfgh=cf2=ef2－ec2=eo2－ec2=(eo+ec)(eo―ec)=co·(eo―ec)y x o a b c d p q g h
s 四边形 cmno=cm·co=|ce―eo|·co=(eo―ec)·co ∴1 cmnocfghssm四边形四边形 ……………………………………………………4 分（3）∵co=1，3231 qf ce，∴ef=eo=qf 32311 ∴cos∠fec= 21 ∴∠fec=60°，∴ 30 60260 180eao oea fea，∴ △ efq 为 等 边 三 角 形，32 eq …………………………………………5 分 作 qi⊥eo 于 i，ei=3121 eq，iq=3323 eq ∴ io=313132 ∴ q 点 坐 标 为)31,33(……………………………………6 分 ∵抛物线 y=mx2+bx+c 过点 c(0，1)，q)31,33(，m=1 ∴可求得3 b，c=1 ∴ 抛 物 线 解 析 式 为1 32 x x y ……………………………………7 分
（4）由（3），3323 eo ao 当332 x时，311 3323)332(2 y＜ab ∴p 点坐标为)31,33 2(…………………8 分 ∴bp=32311 ao 方法 1：若△pbk 与△aef 相似，而△aef≌△aeo，则分情况如下：
①33 23232bk时，93 2 bk∴k 点坐标为)1 ,93 4(或)1 ,93 8(②323233 2bk时，33 2 bk ∴k 点坐标为)1 ,33 4(或)1 , 0(…………10 分 故直线 kp 与 y 轴交点 t 的坐标为)1 , 0()31, 0()37, 0()35, 0(或 或 或 …………………………………………12 分 方法 2：若△bpk 与△aef 相似，由（3）得：∠bpk=30°或 60°，过 p 作pr⊥y 轴于 r，则∠rtp=60°或 30° ①当∠rtp=30°时，2 333 2 rt ②当∠rtp=60°时，32333 2 rt
∴)1 , 0()31, 0()35, 0()37, 0(4 3 2 1t t t t，， ……………………………12 分 【020】解：（1）①cf⊥bd，cf=bd ②成立，理由如下：∵∠fad=∠bac=90° ∴∠bad=∠caf 又 ba=ca，ad=af ∴△bad≌△caf∴cf=bd ∠acf=∠acb=45° ∴∠bcf=90° ∴cf⊥bd ……（1 分）（2）当∠acb=45°时可得 cf⊥bc，理由如下：
如图：过点 a 作 ac 的垂线与 cb 所在直线交于 g 则∵∠acb=45° ∴ag=ac ∠agc=∠acg=45° ∵ag=ac ad=af ………（1 分）∴△gad≌△caf（sas）∴∠acf=∠agd=45° ∴∠gcf=∠gca+∠acf=90° ∴cf⊥bc …………（2 分）（3）如图：作 aqbc 于 q ∵∠acb=45° ac=42 ∴cq=aq=4 ∵∠pcd=∠adp=90°∴∠adq+∠cdp=∠cdp+∠cpd=90° ∴ △ adq ∽ △dpc …（1 分）∴dqpc=aqcd 设 cd 为 x（0 ＜ x ＜ 3）则 dq=cq － cd=4 － x 则xpc 4= 4x …………（1分）∴pc= 41(－x2+4x)=－ 41(x－2)2+1≥1 当 x=2 时，pc 最长，此时 pc=1 ………（1分）
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